摘要： 低年级孩子学数学，靠的不是记，是看、是摸、是摆。农村小学低段"数与代数"这一块，孩子算得出结果却说不清道理、离开竖式就不会算的现象比较普遍，根子在于教学跳过了"直观"这一步。这几年，我们围绕"直观教学法在课堂上怎么组织实施"做了一些尝试：先把直观材料用对地方，再让操作和思维跟上节奏，同时把图、物、式三者串起来，最后想办法让孩子从"摆着算"过渡到"想着算"。实践下来，孩子对数的意义的理解扎实了，动手和表达的机会多了，口头算得也比以前快。本文把这些做法和思考整理出来，也谈谈还没做好的地方，供同行参考。
关键词： 农村小学；低段数学；数与代数；直观教学法；课堂组织
一、问题的提出
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第一学段（1—2年级）"数与代数"领域的要求很明确：认识万以内的数，理解加减法的意义，掌握100以内的加减法，认识乘法的初步意义；能熟练口算20以内加减法，能解决简单的加减实际问题，能用数学语言表达情境。课标同时点明，数感是"对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟"，要在真实情境中理解数的意义。
这里有两个关键词：一个是"直观感悟"，一个是"真实情境"。换句话说，低段孩子认识数、理解运算，起点不该是抽象的符号和口诀，而应该是看得见、摸得着的东西。
农村小学在这一块有自己的难处。一是学具不足或者不会用。有的老师觉得小棒、圆片这些小东西"不上台面"，讲课还是靠一支粉笔一本书；有的学校花钱配了学具盒，却锁在柜子里，一学期也不拿出来几回。二是家长辅导跟不上。农村不少孩子是留守儿童，回家没人陪着摆小棒、数手指，孩子的"数感"几乎全靠课堂那四十分钟建立。
于是课堂上常出现这样的场景：孩子能飞快地算出"6 3=9"，但一问"为什么是9"，只会说"6后面数3个数就是9"；退位减法中，"12-7"孩子能算对，但问他为什么要把12拆成10和2，就答不上来。算对了，其实没懂。这个"没懂"，就是直观这一环没走实。
所以，问题不在于要不要直观，而在于直观怎么用、在什么时候用、用到什么程度。本文要谈的，就是"直观教学法在数与代数课堂上究竟怎么组织实施"这个具体问题。
二、动手之前，先想清楚几件事
第一件事：直观不是目的，是拐杖。直观教学法指的是借助实物、模型、图片、动作等看得见摸得着的手段，帮助学生理解抽象数学知识的教学方法。它服务于理解，不是把课堂搞得热热闹闹就算成功。一根小棒摆十分钟，孩子只在玩，没在算，那不叫直观教学。
第二件事：孩子的思维是有台阶的。皮亚杰的研究说明，这一年龄段的孩子主要靠具体形象思维，抽象符号得从动作和实物里"长"出来。也就是说，孩子要先"手里会摆"，才能"嘴上会说"，最后才"心里会想"。想跳过摆的环节直接讲算理，就是让孩子爬一个够不着的台阶。
第三件事：直观要有"退场"的安排。直观是拐杖，拐杖用久了要撤。一直让孩子掰手指，就会算得很慢。所以直观教学的组织，既要想清楚什么时候把材料"请上来"，也要想清楚什么时候把它"请下去"。这一条，往往被忽视。
第四件事：农村的材料够用，就看会不会找。小棒、圆片买不到，豆子、玉米粒、火柴棍、瓶盖、菜园里的豆荚都能用。农村孩子对"数"最直接的感受，恰恰来自分鸡蛋、数辣椒、称稻谷这些日常经验。把这些搬进课堂，比任何现成学具都亲切。
想清楚这四件事，课堂组织的思路就清楚了：材料要用对地方，操作要跟上思维，直观要能进能退。
三、先说实话：问题出在哪里
我们把这一年来低段数学课堂上的问题捋了一遍，靠听课、翻作业、找孩子聊，摆到桌面上的主要有五个。
（一）材料是摆出来了，可没用在刀刃上
有的课堂上，老师确实发了学具，孩子也在摆，但摆的位置不对。比如认识"倍"的概念，重点是理解"一份"和"几份"的关系，可老师让孩子摆了一堆圆片就没下文了，孩子摆完还是不知道为什么要用乘法。直观材料只用在了"热场"，没用在"理解难点"上，摆了等于白摆。
（二）孩子忙着动手，脑子没跟上
操作活动容易变成"体力活"。老师一声令下"摆一摆"，孩子们埋头摆，摆完就举手"老师我摆好了"，至于"你是怎么摆的""为什么这么摆"，没人问。手在动，脑子没动；动作做完了，思维没留下痕迹。
（三）图、物、式各管一段，串不起来
课堂上常见这样的断层：先摆小棒，摆完把小棒一收，直接让孩子看算式；或者先讲算式，讲不通了再拿出小棒比划一下。实物、图形、算式三者像是三件不相干的东西，孩子看不出它们说的是同一件事。结果就是"摆的时候会，算的时候又不会"。
（四）学会了摆，就不会算了
这是低段最要命的一个问题。有的孩子"8 5"必须掰着手指头一个个数，数完才敢写答案。手指成了离不开的拐杖，孩子算得慢、算不准，还容易分心。直观材料"请上来了"却"没请下去"，从直观到抽象的那一步没走完。
（五）孩子心里明白，嘴上说不出来
"你是怎么想的？"这个问题一抛出去，孩子往往只会说"就是这样算的"。不是孩子不懂，是没人教他怎么说。语言表达这一环长期缺位，孩子的思维就没法从"意会"变成"言传"，老师也无从判断他到底懂没懂。
这五个问题，前三个出在直观材料的运用上，后两个出在直观向抽象的过渡上。我们的探索，就从这两头下手。
四、我们做了什么
（一）材料往哪放：卡在理解的难点上
组织直观教学，第一件事不是准备材料，是想清楚"哪一步孩子最难"。材料就放在那里，别的地方不用。
以一年级上册"10的认识"为例。这节课的难点是理解"10个一是1个十"，建立"十"这个新的计数单位。难点就在这里，材料就要往这里放。我们设计了"捆小棒"的活动：先让孩子一根一根数出10根小棒，然后把这10根扎成一捆，问一句——"现在还是10根吗？数起来方便了吗？"孩子亲手扎了这一捆，对"1个十"的感觉就具体了。至于认识数字"10"的写法，反而不用花太多工夫。
再比如二年级下册"有余数的除法"。难点在"余数为什么比除数小"。我们就用"分小棒"来卡：8根小棒，每4根一份，可以分几份？每3根一份，能分几份、还剩几根？让孩子一组一组地分下去，分到"剩下的不够再分一份"的时候，孩子自己就摸到了那条边界。
一条经验：材料要放在"孩子想不通的那一步"，而不是平均地撒在整节课里。
（二）操作怎么组织：让手和脑一起动
操作活动最怕变成"摆完就完"。我们在组织时加了几个动作，让手和脑挂上钩。
动手之前先猜一猜。摆之前问一句："你猜会怎么样？"孩子带着猜测去摆，摆的过程才有比较、有惊喜。
边摆边说。要求孩子一边摆，一边用话把动作说一遍："我先摆3根，再摆2根，合起来是5根。"话和动作同步，孩子的理解就有了出口。
摆完要问"为什么"。摆完了不急着收，多问一句："你是怎么摆的？为什么这么摆？""换个摆法行不行？"让孩子把动作背后的道理说出来。
换个方式再摆一次。同一个数，用小棒摆、用圆片摆、用手指摆、用点子图摆，摆法不同，但说的是同一个数。孩子在不同的摆法里反复遇到"3"这个数，抽象的影子就清晰一层。
这么组织下来，操作就不再是"体力活"，而是有猜想、有语言、有反思的思维活动。
（三）怎么把图、物、式串成一串
这是我们在组织上花心思最多的地方。实物、图形、算式在教材里本来就是一条线，问题出在课堂上被切成了三截。我们想办法把它们串起来，让孩子看见"它们说的是同一件事"。
以一年级上册"20以内的进位加法"为例。算"9 5"，我们的组织顺序是这样的：
第一步，摆实物。左边摆9根小棒，右边摆5根，问"一共有多少根"。
第二步，想凑十。引导孩子从右边拿1根小棒，挪到左边去，9根凑成了10根。这时候再问："现在左边是多少？右边还剩多少？一共是多少？"孩子看着实物，就明白了"9 1=10，10 4=14"。
第三步，画点子图。把小棒换成点子图，同样地圈一圈、挪一挪，让孩子把动作画下来。这时孩子已经不是在摆实物了，而是在看图形操作。
第四步，写算式。在点子图旁边写出"9 5"，再把刚才的动作翻译成算式"9 1=10，10 4=14"，最后写成"9 5=14"。
从实物到点子图，再到算式，中间不是断的，是走过去的。孩子一路看着同一件事，从"手里"走到了"纸上"。这就是"图、物、式一致"的意思。
我们还试着用一句话把这个过程固定下来："实物看明白—图上圈一圈—算式写出来。"三个环节连成一串，孩子就知道自己走到哪一步了。
（四）拐杖怎么撤：从摆着算到想着算
直观材料请上来了，还得想办法请下去，不然孩子会一直依赖手指和小棒。
第一步，先"看着摆"过渡到"说着算"。操作做熟之后，让孩子把小棒收起来，闭上眼睛想一想刚才摆的过程，用嘴说一遍。手里不摆，心里还有像，这一步很关键。
第二步，用"半直观"的图代替实物。实物收起来，但保留图。孩子看着点子图、数轴、小棒图来算，比看着实物抽象一层。
第三步，慢慢抽掉图，只留算式。等孩子看图算熟了，再尝试只看算式，心里把图想出来。到这一步，"想着算"就基本成形了。
这三步不是一节课走完的，往往要跨好几天。我们也不搞一刀切，谁还需要拐杖谁就留着，走得快的先撤。全班同时撤，只会让慢的孩子摔跤。
（五）让孩子开口说：把"意会"变成"言传"
课标要求孩子"能用数学语言表达情境"，这一条在低段课堂最容易被忽略。我们的做法是给表达搭个架子。
一是给句式。孩子说不出来，就给个模板："我先数出……再……合起来是……""因为……所以……"。孩子照着说，说着说着就顺了。
二是给同伴时间。同桌互说，一个说一个听，说完互换。同伴之间的话，比老师面前的回答放松得多，孩子敢说。
三是给记录的机会。让孩子把摆的过程画下来、把想法写下来（不会写的字用拼音也行）。画和写的过程，也是把思维捋清楚的过程。
四是老师少抢话。孩子说到一半卡住了，老师别急着替他补，等一等，给个提示再等一等。这个"等"，对孩子很重要。
表达这一环做好了，老师也能听出门道：孩子是算对了，还是想对了。
五、三个案例
案例一：从"手指"到"凑十"——9加几的一节课
一年级上册，教"9加几"。班里有个小男孩，算"9 5"一定要从9开始，一根一根掰手指往后数，数到14要好几秒，还容易数错。这种孩子靠的完全是"数数"，没建立"凑十"的想法。
这节课我让孩子摆小棒。左边9根，右边5根，问一共多少根。孩子还是习惯从9往后数。我没有急着纠正，而是问了一句："右边的小棒借1根给左边，会怎么样？"孩子试着挪了1根过去，左边一下子变成了10根。他愣了一下，说："这里变成10了！"我又问："那右边剩下几根？"他说4根。"一共呢？"他脱口而出："10和4，是14！"
后来我又让他把这个动作画在点子图上，一圈一挪，再写上算式"9 1=10，10 4=14"。下课的时候，我问他："下次算9 6，还掰手指吗？"他摇摇头："我借1根就行了。"
这个孩子的变化说明，直观材料用对了地方，孩子不是"多学了一个方法"，而是"换了一个想法"。从"数数"跳到"凑十"，这一步跨过去，20以内进位加法的坎就迈过一半了。
案例二：一捆小棒里的"十"——10的认识
一年级上册"10的认识"。这节课的难点是让孩子理解"10个一是1个十"。光讲"满十进一"，孩子是听不懂的。
我让孩子一根一根地数小棒，数到10根。这时候我拿出一根皮筋，说："请你把这10根扎成一捆。"孩子扎完之后，我举起这一捆问全班："这里面有几根？"孩子说10根。我又把这一捆放在讲台上，一根一根地数出10根散棒放在旁边，问："这两堆小棒，一样多吗？"孩子说一样多。我再问："哪一堆数起来快？"
孩子们几乎同时说："捆着的快。"我又问："为什么？"有个孩子说："因为它是一捆，一看就知道是10，不用一个个数。"
到这里，我又进一步问："那这一捆，它能叫'1'吗？"孩子们犹豫了。我告诉他们："这一捆就是一个'十'。10个一，就是1个十。"孩子若有所思地点点头。后来的练习里，让他们用"1个十和3个一"表示13，孩子们上手很快。
这节课让我明白，直观材料不是用来"看"的，是用来"做"的。孩子亲手扎的这一捆，比任何讲解都管用。
案例三：不让手指乱动——退位减法里的分与合
一年级下册"十几减几"。教"12-7"，难点是理解"为什么要拆12"。班里不少孩子还是掰手指，从12往回数7个，数得慢，还容易错。
这节课我设计了一个"拆数"的活动。每人12根小棒，要求"拿走7根"。我提出一个限定："不能一根一根地往外拿，要想个更快的办法。"孩子们试了试，发现直接拿不好拿。我提示："能不能先把12拆一拆？"
孩子开始琢磨。有的把12拆成10和2，先从10里拿走7根，还剩3根，再把2根加回去，一共5根。有的把12拆成6和6，拿走一个6，再拿走1，也是5。孩子的拆法不一样，但他们都做了同一件事：把"减"变成了"分"和"合"。
我又让孩子把过程画在图上，标出哪里是原来的12，哪里是拿走的7，哪里是剩下的5。最后写算式："12-7=5，想：10-7=3，3 2=5。"
下课前我做了个小统计，班里会用"拆数"方法的孩子明显多起来了。更让我高兴的是，有几个原来掰手指的孩子，收小棒的时候还在小声嘀咕："10减7等于3，加2就是5。"
这个案例给我的启发是：直观材料最大的价值，不是让孩子算得快，而是让孩子自己想通。孩子自己想出来的方法，才真正长在他身上。
六、变化是看得见的
探索做了将近一年，变化谈不上翻天覆地，但实实在在。
孩子这头，最明显的是"讲得出道理"了。以前问"为什么这么算"，孩子多半答不上来；现在不少孩子会主动说"我是从10里面拿的""我先凑十再算"。会讲理由的孩子多了，说明理解到了，而不只是记住了。
操作方面，孩子对有结构的东西更敏感了。给他们一堆小棒，会先数出10根扎一捆，而不是一把抓起来乱数；看到点子图，知道要圈一圈再算。这种"有序"的习惯，是直观教学慢慢喂出来的。
口算方面，掰手指的孩子明显减少。虽然还有个别孩子离不开图，但大多数孩子能看着算式想过程，20以内加减法的速度和正确率都有提高。
老师这头，变化在备课的角度。以前备一节课先想"讲哪几个知识点"，现在先想"哪里是孩子想不通的地方""用什么东西帮他跨过去"。教研时讨论的焦点，从"这个环节怎么讲"变成"这个材料放在哪里最合适""孩子这时候脑子里在想什么"。
课堂气氛也变了。孩子动起来、说起来了，坐在那儿发呆的时间少了。当然，热闹不等于学得好，但至少孩子愿意进来，后面的路就好走一些。
七、还没做好的事
成效说过了，问题也得摊开讲。
课标里面，"直观感悟"和"抽象意识"怎么兼顾，我们还在摸索。有时候侧重直观，课上得热闹，孩子操作能力强了，但抽象推理的训练偏弱；反过来，想多练一点抽象，又怕孩子掉队。这个尺度怎么拿，还需要更多实践。
第二个是手上的学具还不够。小棒、圆片这些常用材料时常不够分，想做的活动做不了全套。往后打算发动家长和老师一起留意收集身边的材料，把豆子、玉米粒、瓶盖这些攒起来，自己动手做一些。
第三个是表达环节的指导还比较粗。虽然搭了句式架子，但孩子说出来的话还是偏浅，有的孩子背句式，其实是"套话"，没真正表达自己的想法。往后要把"听孩子怎么说"当成一件正经事来研究，慢慢找出更有效的引导方法。
第四个是差异照顾得不够。直观撤得快的孩子已经想着算了，撤得慢的孩子还离不开拐杖。课堂上时间有限，如何同时照顾两头的孩子，是个现实的难题。我们打算试试小组搭配，让走得快的孩子带一带，但具体怎么做还没想清楚。
最后是评价。孩子的直观能力和抽象能力发展到什么程度了，我们现在主要是靠老师的感觉，没有简便好用的观察办法。这一块要慢慢补。
八、写在最后
低段数学的直观教学，说到底就一句话：把数学悄悄藏进孩子的手里，再慢慢从手里挪到心里。
农村小学做这件事，条件不占优势，但也不缺什么。一根小棒、一把豆子、一捆扎好的柴火，都能成为孩子认识"十"的工具。真正难的，不是材料，是老师肯不肯蹲下来，看孩子怎么想、怎么摆、怎么说，然后在对的时候递上一根拐杖，又在合适的时候把它拿走。
我们的体会，可以归成四句话：材料卡在难点上，操作跟着思维走，图物式子串成串，拐杖能进也要能退。这条路我们还在走，走得不快，但每一步都踩得实。
（谢汉俊）
